Math · Lesson 37
Finding the Median
Sort first, then take the middle · 8-question timed quiz · Bilingual (English / Español)
The student's work
Problem: Find the median of the numbers in the list
10, 70, 40, 10, 30.
Student's solution: 40
The correct procedure is: arrange the numbers from least to greatest and choose the number in the middle. Sorted, the list is 10, 10, 30, 40, 70 — and the middle number is 30.
The student answered 40 because 40 sits in the third position of the list as written. They took the middle of the line on the page instead of the middle of the sorted values. Only one step was skipped: the sorting.
El procedimiento correcto es: ordenar los números de menor a mayor y elegir el número del medio. Ordenada, la lista es 10, 10, 30, 40, 70 — y el número del medio es 30.
El estudiante respondió 40 porque 40 está en la tercera posición de la lista tal como está escrita. Tomó el medio de la fila en el papel en vez del medio de los valores ordenados. Solo se saltó un paso: ordenar.
La mediana es una posición, no un cálculo. No sumas, ni multiplicas, ni divides nada. Pones los números en orden y señalas el del centro — la mitad de los valores queda abajo y la mitad arriba.
Worked out
List: 10, 70, 40, 10, 30 Step 1 — sort from least to greatest: 10, 10, 30, 40, 70 Step 2 — find the middle position: 5 numbers, so the 3rd one is the middle two below it, two above it Median = 30 The student's 40 was the 3rd number of the UNSORTED list — the right position, wrong list.
Each wrong choice is a real statistic
| Procedure | What it finds | For this list |
|---|---|---|
| Add the numbers and divide by 5 | The mean (average) | 160 ÷ 5 = 32 |
| Subtract the lowest from the highest | The range | 70 − 10 = 60 |
| Choose the number that occurs most often | The mode | 10 |
| Arrange least to greatest, choose the middle | The median | 30 — correct |
None of the wrong answers is nonsense. Each one is a correct procedure for a different measure, which is exactly why they are tempting — a student who mixes up the four words will confidently run the wrong one.
This same list gives four different answers depending on which word the question used: 32, 60, 10, or 30. The word in the question is doing all the work.
Ninguna de las respuestas incorrectas es un disparate. Cada una es un procedimiento correcto para otra medida, y por eso son tentadoras — un estudiante que confunde las cuatro palabras ejecutará con confianza la equivocada.
Esta misma lista da cuatro respuestas distintas según la palabra que use la pregunta: 32, 60, 10 o 30. La palabra en la pregunta hace todo el trabajo.
The four words
Two memory hooks that hold up: median is the strip down the middle of a highway, and mode is what is in fashion — what shows up most.
In Spanish the trap is sharper, because media (mean) and mediana (median) are one syllable apart. Say both words out loud together when teaching, so the difference gets heard, not just read.
Dos ganchos de memoria que funcionan: la mediana es la franja del medio de una carretera, y la moda es lo que está de moda — lo que aparece más.
En español la trampa es más filosa, porque media y mediana se diferencian en una sílaba. Di ambas palabras en voz alta juntas al enseñar, para que la diferencia se oiga y no solo se lea.
When the list has an even count
List: 4, 8, 10, 14 (4 numbers — no single middle) Two middle numbers: 8 and 10 Add them and halve: (8 + 10) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 Median = 9 — and notice 9 is not even in the list.
With an even count there is no single middle value, so you take the two in the center and average them. The median can be a number that never appears in the data, and that is perfectly normal.
Still sort first. Everything about the median depends on the list being in order before you count in from the ends.
Con una cantidad par no hay un solo valor central, así que tomas los dos del centro y sacas su promedio. La mediana puede ser un número que nunca aparece en los datos, y eso es totalmente normal.
Aun así, ordena primero. Todo lo de la mediana depende de que la lista esté en orden antes de contar desde los extremos.
Correcting the work as a paraprofessional
The student's answer is not random, and saying “that's wrong, it's 30” teaches nothing. Show them their own 40 sitting in the middle of the unsorted line, then have them rewrite the list in order and look again.
Give the procedure as two numbered steps they can say back: one, put them in order. Two, take the middle. A student who can recite those two steps never needs to remember a formula.
La respuesta del estudiante no es al azar, y decir “está mal, es 30” no enseña nada. Muéstrale su propio 40 en el medio de la fila sin ordenar, y luego pídele que reescriba la lista en orden y mire de nuevo.
Da el procedimiento en dos pasos numerados que pueda repetir: uno, ponlos en orden. Dos, toma el del medio. Un estudiante que puede recitar esos dos pasos nunca necesita recordar una fórmula.
8 questions · 10 minutes
8 preguntas · 10 minutos
The clock starts when you press the button. / El reloj empieza al presionar el botón.
Median strategy · Estrategia de mediana
1. Rewrite the list in order, every time · Reescribe la lista en orden, siempre
Do not sort in your head and do not sort by pointing. Physically write the sorted list on a second line, then work from that line only.
This one habit removes the exact error in the item above. A student who writes 10, 10, 30, 40, 70 on paper cannot accidentally answer 40 — the middle is right there in front of them.
No ordenes mentalmente ni señalando. Escribe físicamente la lista ordenada en una segunda línea y trabaja solo desde esa línea.
Ese solo hábito elimina el error exacto del problema de arriba. Un estudiante que escribe 10, 10, 30, 40, 70 en papel no puede responder 40 por accidente — el medio está ahí enfrente.
2. Cross off from both ends · Tacha desde los dos extremos
Once sorted, cross off the smallest and the largest together. Then the next pair. Keep going until one number is left — that is the median.
This works no matter how long the list is, and it never requires counting or dividing. If two numbers are left instead of one, the list had an even count: average those two.
Una vez ordenada, tacha juntos el más pequeño y el más grande. Luego el siguiente par. Sigue hasta que quede un solo número — esa es la mediana.
Funciona sin importar cuán larga sea la lista, y nunca requiere contar ni dividir. Si quedan dos números en vez de uno, la lista tenía cantidad par: promedia esos dos.
3. Keep repeated numbers · Conserva los números repetidos
The list 10, 70, 40, 10, 30 has two 10s and both stay in the sorted list. Dropping the duplicate leaves four numbers, shifts the middle, and changes the answer.
A repeated value is a real data point, not a typo. Five numbers went in, so five numbers come out.
La lista 10, 70, 40, 10, 30 tiene dos 10 y ambos se quedan en la lista ordenada. Quitar el repetido deja cuatro números, mueve el medio y cambia la respuesta.
Un valor repetido es un dato real, no un error de tipeo. Entraron cinco números, salen cinco números.
4. Circle the word before you compute · Encierra la palabra antes de calcular
Median, mean, mode, range — four words, four procedures, four different answers from the same list. Circle the one the question actually used before touching a number.
For 10, 70, 40, 10, 30 the answers are 30, 32, 10, and 60. Getting the arithmetic right on the wrong word still scores zero.
Mediana, media, moda, rango — cuatro palabras, cuatro procedimientos, cuatro respuestas distintas de la misma lista. Encierra la que usó la pregunta antes de tocar un número.
Para 10, 70, 40, 10, 30 las respuestas son 30, 32, 10 y 60. Hacer bien la aritmética con la palabra equivocada igual vale cero.
5. How to explain this to a student · Cómo explicárselo a un estudiante
Line students up by height and ask who is in the middle. Then scramble them and ask again — the person in the middle changed, but nobody grew. That is the whole lesson: the middle only means something once things are in order.
When a student gives the unsorted middle, name what they did right first: “you found the middle — good. Now let's put them in order and find the middle again.” They keep the half of the procedure they had, and add the half they missed.
Forma a los estudiantes por estatura y pregunta quién está en el medio. Luego desordénalos y pregunta otra vez — la persona del medio cambió, pero nadie creció. Esa es toda la lección: el medio solo significa algo cuando las cosas están en orden.
Cuando un estudiante dé el medio sin ordenar, nombra primero lo que hizo bien: “encontraste el medio — bien. Ahora pongámoslos en orden y busquemos el medio otra vez.” Conserva la mitad del procedimiento que tenía y agrega la que le faltaba.
6. Pace yourself on a timed test · Administra el tiempo
Median questions are quick once the list is sorted, and sorting five numbers takes about ten seconds. Do not skip it to save time — that is where the whole question is won or lost.
Eight questions in ten minutes is 75 seconds each. Spend the first ten on sorting and the rest is almost free.
Las preguntas de mediana son rápidas una vez ordenada la lista, y ordenar cinco números toma unos diez segundos. No te lo saltes para ahorrar tiempo — ahí se gana o se pierde toda la pregunta.
Ocho preguntas en diez minutos son 75 segundos cada una. Gasta los primeros diez en ordenar y el resto sale casi gratis.
Palabras clave · Key words
| English | Español | Qué es |
|---|---|---|
| median | mediana | El del medio, ya ordenado |
| mean / average | media / promedio | Sumar y dividir entre la cantidad |
| mode | moda | El que más se repite |
| range | rango | Mayor menos menor |
| least to greatest | de menor a mayor | El orden que hay que escribir |
| arrange / order | ordenar | El paso 1, siempre |
| middle | medio / centro | La posición central |
| data / list | datos / lista | Los números dados |
| even number of values | cantidad par de valores | Promedia los dos del centro |
| procedure | procedimiento | Los pasos, en orden |
Toma cinco números cualesquiera — edades, precios, puntajes — y halla las cuatro: mediana, media, moda y rango. Escribe las cuatro respuestas una al lado de la otra. Verlas diferir en una misma lista es lo que fija las palabras.