Math · Lesson 39
Diagnosing a Two-Step Error
Work backward from the wrong answer · 8-question timed quiz · Bilingual (English / Español)
The situation
The given number is 6. George gets 28.
The correct answer is 2 × 6 = 12, then 12 + 8 = 20. George got 28, so something in his procedure differed from the instructions.
The error is that he added 8 to the given number and then doubled the result: 6 + 8 = 14, and 14 × 2 = 28. He did both correct operations — in the wrong order.
La respuesta correcta es 2 × 6 = 12, y luego 12 + 8 = 20. George obtuvo 28, así que algo en su procedimiento se apartó de las instrucciones.
El error es que sumó 8 al número dado y luego duplicó el resultado: 6 + 8 = 14, y 14 × 2 = 28. Hizo las dos operaciones correctas — en el orden equivocado.
No adivines el error — prueba cada candidato. Te dan la respuesta incorrecta, 28. Ejecuta cada uno de los cuatro errores propuestos sobre el número 6 y mira cuál produce 28. Exactamente uno lo hará, y entonces estás seguro en vez de convencido.
Testing all four candidates
| Proposed error | What it computes | Result | |
|---|---|---|---|
| Doubled, then added 8 and 6 | 2(6) + 8 + 6 | 26 | not 28 |
| Squared, then added 8 | 6² + 8 | 44 | not 28 |
| Added 8, then doubled | (6 + 8) × 2 | 28 | matches |
| Added 2, then added 8 | 6 + 2 + 8 | 16 | not 28 |
Four candidates, four different results: 26, 44, 28, 16. Only one lands on George's answer, and that makes the diagnosis airtight — no judgment call required.
This is the same skill a paraprofessional uses at a student's desk every day: not “that's wrong,” but “what procedure would have produced that number?”
Cuatro candidatos, cuatro resultados distintos: 26, 44, 28, 16. Solo uno cae en la respuesta de George, y eso hace el diagnóstico impecable — no hace falta opinar.
Esta es la misma destreza que un paraprofesional usa en el pupitre de un estudiante todos los días: no “eso está mal,” sino “¿qué procedimiento habría producido ese número?”
Worked out
Instructions: double it, then add 8 Correct order 6 → ×2 → 12 → +8 → 20 George's order 6 → +8 → 14 → ×2 → 28 Same two operations. Same starting number. Different order — different answer. Why the gap is 8: doubling AFTER adding 8 doubles the 8 as well, so George is 8 too high. 20 + 8 = 28
The size of the error is not random. Adding first means the 8 gets doubled along with everything else, so George's answer is exactly 8 more than it should be — and it will be 8 more for any starting number.
Check it: with 5, the correct answer is 18 and George's method gives 26. With 10, correct is 28 and George's method gives 36. Always 8 apart.
El tamaño del error no es al azar. Sumar primero hace que el 8 también se duplique, así que la respuesta de George es exactamente 8 más de lo que debe ser — y será 8 más para cualquier número inicial.
Compruébalo: con 5, la respuesta correcta es 18 y el método de George da 26. Con 10, lo correcto es 28 y su método da 36. Siempre 8 de diferencia.
Word order is instruction order
| Instruction in words | As an expression | With n = 6 |
|---|---|---|
| Double the number, then add 8 | 2n + 8 | 20 |
| Add 8 to the number, then double it | 2(n + 8) | 28 |
| Square the number, then add 8 | n² + 8 | 44 |
| Add 2 to the number, then add 8 | n + 2 + 8 | 16 |
In a written instruction, the order of the sentence is the order of the work. “Double it, then add 8” is 2n + 8; “add 8, then double it” is 2(n + 8). The parentheses in the second one are what “then” means.
Watch also for “double” versus “square.” Doubling 6 gives 12; squaring 6 gives 36. Students who blur those two are off by far more than a reordering.
En una instrucción escrita, el orden de la oración es el orden del trabajo. “Duplícalo, luego suma 8” es 2n + 8; “suma 8, luego duplícalo” es 2(n + 8). Los paréntesis del segundo son lo que significa “luego”.
Cuidado también con “duplicar” frente a “elevar al cuadrado”. Duplicar 6 da 12; elevar 6 al cuadrado da 36. Quien confunda esas dos se aleja mucho más que con un cambio de orden.
What a paraprofessional does with this
George does not need reteaching on doubling or on adding. He needs one sentence: “read the instruction in order — double first, then add.” A diagnosis this precise turns a whole reteach into a thirty-second correction.
Have him number the steps on the page before computing: (1) double, (2) add 8. Numbering forces the sequence to be decided before the arithmetic starts, which is exactly where his error happened.
George no necesita que le re-enseñen a duplicar ni a sumar. Necesita una frase: “lee la instrucción en orden — primero duplica, luego suma.” Un diagnóstico así de preciso convierte toda una re-enseñanza en una corrección de treinta segundos.
Pídele que numere los pasos en la hoja antes de calcular: (1) duplicar, (2) sumar 8. Numerar obliga a decidir la secuencia antes de empezar la aritmética, que es justo donde ocurrió su error.
8 questions · 10 minutes
8 preguntas · 10 minutos
The clock starts when you press the button. / El reloj empieza al presionar el botón.
Error-analysis strategy · Estrategia de análisis de errores
1. Compute the correct answer first · Calcula primero la respuesta correcta
Before looking at the choices, follow the instructions yourself: 2 × 6 = 12, 12 + 8 = 20. Now you know the target and the gap — George is 8 high.
Without your own answer you are comparing the choices to nothing. With it, you can often spot the error before reading past the first option.
Antes de mirar las opciones, sigue tú las instrucciones: 2 × 6 = 12, 12 + 8 = 20. Ahora conoces el objetivo y la diferencia — George está 8 arriba.
Sin tu propia respuesta estás comparando las opciones contra nada. Con ella, muchas veces ves el error antes de pasar de la primera opción.
2. Run every choice on the actual number · Ejecuta cada opción con el número real
Do not reason about which mistake “sounds like” George's. Compute all four: 26, 44, 28, 16. The one equal to his answer is the answer.
These are four short calculations, ten seconds total, and they replace a guess with a proof. On error-analysis items this is almost always faster than thinking.
No razones sobre qué error “suena” al de George. Calcula los cuatro: 26, 44, 28, 16. El que iguala su respuesta es la respuesta.
Son cuatro cálculos cortos, diez segundos en total, y reemplazan una suposición con una prueba. En preguntas de análisis de errores casi siempre es más rápido que pensar.
3. Translate the words into an expression · Traduce las palabras a una expresión
“Double it, then add 8” is 2n + 8. “Add 8, then double it” is 2(n + 8). Writing both makes the difference visible instead of verbal.
Whenever a step follows “then,” whatever came before it goes inside parentheses. That single habit handles most reversed-order errors.
“Duplícalo, luego suma 8” es 2n + 8. “Suma 8, luego duplícalo” es 2(n + 8). Escribir ambas hace la diferencia visible en vez de verbal.
Siempre que un paso siga a “luego”, todo lo anterior va dentro de paréntesis. Ese solo hábito resuelve casi todos los errores de orden invertido.
4. Know the vocabulary of operations · Conoce el vocabulario de las operaciones
Double means multiply by 2. Square means multiply by itself. Twice means double. Half means divide by 2. Doubling 6 gives 12; squaring 6 gives 36.
Distractors are built out of these confusions on purpose. Reading “squared” where the problem said “doubled” is a different error than reordering, and it produces a very different number.
Duplicar es multiplicar por 2. Elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo. El doble es duplicar. La mitad es dividir entre 2. Duplicar 6 da 12; elevar 6 al cuadrado da 36.
Los distractores se construyen con estas confusiones a propósito. Leer “al cuadrado” donde el problema decía “duplicado” es un error distinto al de reordenar, y produce un número muy distinto.
5. How to explain this to a student · Cómo explicárselo a un estudiante
Start by telling George what he got right: both operations were correct, and his arithmetic was clean. Then show the two chains side by side — 6 → 12 → 20 next to 6 → 14 → 28 — and let him see where they split.
Have him number the steps before computing anything: write (1) and (2) in the margin next to the two instructions. Students who reverse steps are usually starting arithmetic before they have finished reading, and numbering forces the reading to finish first.
Empieza diciéndole a George lo que hizo bien: las dos operaciones eran correctas y su aritmética estuvo limpia. Luego muestra las dos cadenas lado a lado — 6 → 12 → 20 junto a 6 → 14 → 28 — y deja que vea dónde se separan.
Pídele que numere los pasos antes de calcular nada: escribir (1) y (2) al margen junto a las dos instrucciones. Los estudiantes que invierten pasos suelen empezar a calcular antes de terminar de leer, y numerar obliga a que la lectura termine primero.
6. Pace yourself on a timed test · Administra el tiempo
Error-analysis questions look wordy but are arithmetic underneath. Compute the correct answer, then test choices until one hits the student's number — you can stop the moment it does.
Eight questions in ten minutes is 75 seconds each. These usually take less, which buys time for the geometry and word problems later in the section.
Las preguntas de análisis de errores parecen largas pero por dentro son aritmética. Calcula la respuesta correcta y luego prueba opciones hasta que una dé con el número del estudiante — puedes parar en cuanto ocurra.
Ocho preguntas en diez minutos son 75 segundos cada una. Estas suelen tomar menos, lo que te compra tiempo para la geometría y los problemas escritos más adelante.
Palabras clave · Key words
| English | Español | Qué es |
|---|---|---|
| double / twice | duplicar / el doble | Multiplicar por 2 |
| square | elevar al cuadrado | Multiplicar por sí mismo |
| half | la mitad | Dividir entre 2 |
| the result | el resultado | Lo que salió del paso anterior |
| then | luego / después | Marca el segundo paso |
| given number | número dado | Con el que empiezas |
| procedure | procedimiento | Los pasos, en orden |
| expression | expresión | 2n + 8 |
| error analysis | análisis de errores | Hallar qué hizo el estudiante |
| reverse the order | invertir el orden | El error de George |
Toma el número 9 y ejecuta ambos procedimientos — duplicar y luego sumar 8, y sumar 8 y luego duplicar. Debes obtener 26 y 34. La diferencia es 8 otra vez, igual que con el 6. Prueba un tercer número y mira cómo se mantiene.