Math · Lesson 18
Exponents: Repeated Multiplication
Base, exponent, and power · 8-question timed quiz · Bilingual (English / Español)
The problem
Multiply it out: 2 × 2 = 4, then 4 × 2 = 8. The answer is 8.
The same expression can also be written as 23 — “two to the third power.” Both mean exactly the same thing: the number 2 used as a factor three times.
Multiplica: 2 × 2 = 4, luego 4 × 2 = 8. La respuesta es 8.
La misma expresión también se escribe como 23 — “dos elevado a la tercera potencia.” Significan exactamente lo mismo: el número 2 usado como factor tres veces.
The three words you need
23 se lee “dos elevado a la tercera potencia” o “dos al cubo.” No es “dos por tres.” Esa sola frase evita el error más común de todo el tema.
Why each wrong answer is tempting
| Choice | Where it comes from | Why it fails |
|---|---|---|
| 6 | Multiplying the base by the exponent: 2 × 3 | The exponent counts the factors; it is not one of them. |
| 8 | 2 × 2 × 2 | Correct. Same as 23. |
| 32 | Base and exponent swapped | 32 = 3 × 3 = 9, not 8. |
| 42 | Squaring the partial product 2 × 2 | 42 = 16 — that multiplies by 2 two extra times. |
The four steps, every time
Every exponent question is the same short routine:
Toda pregunta de exponentes es la misma rutina corta:
Worked out: 34
3^4 = 3 x 3 x 3 x 3 write it out long
3 x 3 = 9 multiply the first pair
9 x 3 = 27 then the next factor
27 x 3 = 81 and the last one
3^4 = 81 four 3s, not 3 x 4
La trampa: 3 × 4 = 12, y 12 casi siempre aparece como opción. Escribir los factores en forma larga — aunque sea en papel de borrador — hace imposible ese error.
Powers worth memorizing
| Base | Squared (2) | Cubed (3) | 4th power |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 |
| 3 | 9 | 27 | 81 |
| 4 | 16 | 64 | 256 |
| 5 | 25 | 125 | 625 |
| 6 | 36 | 216 | — |
| 10 | 100 | 1,000 | 10,000 |
Two rules that show up constantly
Rule 1 · Order matters · El orden importa
25 and 52 are not the same. 25 = 32; 52 = 25. Swapping the base and the exponent changes the value.
Whenever a question offers both versions, that is the point of the question.
25 y 52 no son lo mismo. 25 = 32; 52 = 25. Intercambiar la base y el exponente cambia el valor.
Cuando una pregunta ofrece las dos versiones, ese es justamente el punto de la pregunta.
Rule 2 · Exponent of 1 and 0 · Exponente de 1 y de 0
Any number to the first power is itself: 71 = 7. Any nonzero number to the zero power is 1: 90 = 1, 1000 = 1.
The zero exponent feels wrong the first time. Memorize it — the answer is always 1, never 0.
Cualquier número a la primera potencia es él mismo: 71 = 7. Cualquier número distinto de cero a la potencia cero es 1: 90 = 1, 1000 = 1.
El exponente cero se siente raro la primera vez. Memórizalo — la respuesta siempre es 1, nunca 0.
Where exponents come from: area and volume
A square 6 feet on each side has an area of 6 × 6 = 36 square feet, written 62. That is why the second power is called “squared.”
A cube 6 feet on each edge holds 6 × 6 × 6 = 216 cubic feet, written 63 — “cubed.” The words are literal descriptions of shapes.
Un cuadrado de 6 pies por lado tiene un área de 6 × 6 = 36 pies cuadrados, escrito 62. Por eso a la segunda potencia se le dice “al cuadrado.”
Un cubo de 6 pies por arista contiene 6 × 6 × 6 = 216 pies cúbicos, escrito 63 — “al cubo.” Las palabras describen figuras literalmente.
8 questions · 10 minutes
8 preguntas · 10 minutos
The clock starts when you press the button. / El reloj empieza al presionar el botón.
Exponent strategy · Estrategia con exponentes
1. Never multiply base times exponent · Nunca multipliques la base por el exponente
This is the error the test is built around. 23 is not 6. 54 is not 20. 103 is not 30.
That wrong product is placed in the answer choices on purpose, and it is usually the smallest number listed. If your answer is the smallest choice, stop and check that you expanded instead of multiplied.
Este es el error alrededor del cual se construye el examen. 23 no es 6. 54 no es 20. 103 no es 30.
Ese producto incorrecto se coloca a propósito entre las opciones, y casi siempre es el número más pequeño de la lista. Si tu respuesta es la opción más pequeña, deténte y verifica que expandiste en lugar de multiplicar.
2. Count the factors, not the number · Cuenta los factores, no el número
When a question shows the long form — 4 × 4 × 4 × 4 × 4 — do not compute it. Just count: five 4s, so the answer is 45.
The base is the number you see repeated; the exponent is how many times you see it. Circle them as you count so you don't lose your place in a long string.
Cuando la pregunta muestra la forma larga — 4 × 4 × 4 × 4 × 4 — no la calcules. Solo cuenta: cinco cuatros, entonces la respuesta es 45.
La base es el número que se repite; el exponente es cuántas veces aparece. Márcalos mientras cuentas para no perder el lugar en una cadena larga.
3. Estimate with powers of 10 · Estima con potencias de 10
102 = 100, 103 = 1,000, 104 = 10,000. The exponent equals the number of zeros. That single fact sizes up almost any answer.
Example: 93 must be a little under 1,000, because 9 is just under 10. (It's 729.) Any choice in the tens or the ten-thousands is out immediately.
102 = 100, 103 = 1.000, 104 = 10.000. El exponente es igual a la cantidad de ceros. Ese solo dato te da el tamaño de casi cualquier respuesta.
Ejemplo: 93 debe ser un poco menos de 1.000, porque 9 es apenas menor que 10. (Es 729.) Cualquier opción en las decenas o en las decenas de millar queda descartada de inmediato.
4. Multiply in pairs, write each result · Multiplica en pares y anota cada resultado
For 26, don't try to hold six factors in your head. Write the running total: 2, 4, 8, 16, 32, 64. Six numbers, six factors — the count is built into the list.
Doubling and tripling chains are fast and self-checking. Losing track is what causes wrong answers here, not the arithmetic itself.
Para 26, no intentes sostener seis factores en la mente. Escribe el total acumulado: 2, 4, 8, 16, 32, 64. Seis números, seis factores — el conteo queda incluido en la lista.
Las cadenas de duplicar o triplicar son rápidas y se revisan solas. Lo que causa errores aquí es perder la cuenta, no la aritmética.
5. How to explain this to a student · Cómo explicárselo a un estudiante
Start with the long form, not the symbol. Ask the student to write 2 × 2 × 2 first, get 8, and only then show that 23 is shorthand for what they already did. The notation should arrive last.
Use objects: three stacks that double, or a 3-by-3 square of tiles. Ask “how many 2s do you see?” rather than giving the rule. When a student answers 6, don't say “wrong” — ask them to write out the multiplication and let the paper correct them.
Empieza con la forma larga, no con el símbolo. Pide al estudiante que escriba 2 × 2 × 2 primero, que obtenga 8, y recién después muéstrale que 23 es la forma corta de lo que ya hizo. La notación debe llegar al final.
Usa objetos: tres montones que se duplican, o un cuadrado de 3 por 3 de fichas. Pregunta “¿cuántos 2 ves?” en vez de dar la regla. Cuando un estudiante responda 6, no digas “incorrecto” — pídele que escriba la multiplicación y deja que el papel lo corrija.
6. Pace yourself on a timed test · Administra el tiempo
Eight questions in ten minutes is 75 seconds each — generous for exponents, since most are one line of arithmetic. Expect to finish early and use the leftover minutes to re-expand the two you were least sure about.
If a problem passes 90 seconds, you are probably second-guessing a correct answer. Write the factors out once, take that result, and move on.
Ocho preguntas en diez minutos son 75 segundos cada una — generoso para exponentes, porque casi todas son una línea de aritmética. Espera terminar antes y usa los minutos que sobren para reexpandir las dos de las que menos seguro estabas.
Si un problema pasa de 90 segundos, probablemente estás dudando de una respuesta correcta. Escribe los factores una vez, toma ese resultado y sigue adelante.
Palabras clave · Key words
| English | Español | Qué es |
|---|---|---|
| base | base | El número que se multiplica (el 2 en 23) |
| exponent, power | exponente, potencia | Cuántas veces se usa la base (el 3 en 23) |
| squared | al cuadrado | Exponente 2 — 62 = 36 |
| cubed | al cubo | Exponente 3 — 63 = 216 |
| factor | factor | Cada número que se multiplica |
| product | producto | El resultado de multiplicar |
| expanded form | forma desarrollada | 2 × 2 × 2 en vez de 23 |
| exponential form | forma exponencial | 23 en vez de 2 × 2 × 2 |
| equivalent | equivalente | Vale exactamente lo mismo |
| repeated multiplication | multiplicación repetida | La idea completa de los exponentes |
Toma cada pregunta que fallaste y reescríbela en forma desarrollada antes de resolver. Escribir 4 × 4 × 4 × 4 × 4 en vez de 45 toma ocho segundos y elimina para siempre el error de multiplicar base por exponente.