Math · Lesson 35
Order of Operations
Which operation comes first · 8-question timed quiz · Bilingual (English / Español)
The problem
A paraprofessional is helping a student solve this. The question is not what the answer is — it is which procedure to teach.
Division outranks addition, so the division happens first no matter where it sits in the line: divide 45 by 5, then add 20. That gives 9 + 20 = 29.
Un paraprofesional ayuda a un estudiante con esto. La pregunta no es cuál es la respuesta — es qué procedimiento enseñar.
La división tiene más jerarquía que la suma, así que la división va primero sin importar dónde esté en la línea: divide 45 entre 5 y luego suma 20. Eso da 9 + 20 = 29.
De izquierda a derecha no es la regla — la jerarquía sí. Los estudiantes leen una oración matemática como leen en español, de corrido. Pero las operaciones tienen un orden: paréntesis, exponentes, multiplicación y división, y luego suma y resta. El orden de lectura solo decide los empates.
Worked out
45 ÷ 5 + 20 45 ÷ 5 + 20 division first — it outranks addition 9 + 20 now the addition 29
Four procedures, four different answers
| Procedure | What it computes | Result |
|---|---|---|
| Add 45 and 5, then divide by 20 | (45 + 5) ÷ 20 | 2.5 |
| Divide 45 by 5, then add 20 | 45 ÷ 5 + 20 | 29 — correct |
| Add 45 and 20, then divide by 5 | (45 + 20) ÷ 5 | 13 |
| Divide 20 by 5, then add 45 | 45 + (20 ÷ 5) | 49 |
Same three numbers, four procedures, four completely different answers: 2.5, 29, 13, 49. That is why the order is a rule and not a preference — without it, an expression would not have one meaning.
Notice too that three of the four choices quietly insert parentheses that are not in the problem. Only one procedure reads the expression as written.
Los mismos tres números, cuatro procedimientos, cuatro respuestas completamente distintas: 2.5, 29, 13, 49. Por eso el orden es una regla y no una preferencia — sin ella, una expresión no tendría un solo significado.
Fíjate también en que tres de las cuatro opciones meten paréntesis que no están en el problema. Solo un procedimiento lee la expresión tal como está escrita.
The order, tier by tier
| Tier | Do these | Note |
|---|---|---|
| 1 | Parentheses ( ) | Whatever is inside comes first, always |
| 2 | Exponents | 23, squares, cubes |
| 3 | Multiplication and division | Equal rank — do them left to right |
| 4 | Addition and subtraction | Equal rank — do them left to right |
The part most often taught wrong is tier 3. Multiplication does not come before division — they share a rank, so you work left to right. In 24 ÷ 6 × 2, the division comes first because it is further left: 4 × 2 = 8, not 24 ÷ 12 = 2.
The same is true of addition and subtraction in tier 4. “PEMDAS” lists six letters but there are only four tiers.
La parte que más se enseña mal es el nivel 3. La multiplicación no va antes que la división — comparten jerarquía, así que se trabaja de izquierda a derecha. En 24 ÷ 6 × 2, la división va primero porque está más a la izquierda: 4 × 2 = 8, no 24 ÷ 12 = 2.
Lo mismo pasa con la suma y la resta en el nivel 4. “PEMDAS” tiene seis letras pero solo hay cuatro niveles.
Parentheses change everything
45 ÷ 5 + 20 = 9 + 20 = 29 45 ÷ (5 + 20) = 45 ÷ 25 = 1.8 Same numbers, same symbols, one pair of parentheses — and a completely different answer.
Parentheses are how a writer overrides the ranking. If the problem wanted the addition first, it would have to say so with parentheses. Since there are none here, the ranking decides — and the ranking puts division first.
Los paréntesis son la forma de anular la jerarquía. Si el problema quisiera la suma primero, tendría que decirlo con paréntesis. Como aquí no hay ninguno, manda la jerarquía — y la jerarquía pone la división primero.
Teaching the procedure, not just the answer
This item asks for a procedure, which is exactly what a paraprofessional supplies. The student can already divide and add; what they need is the sequence, said in words they can repeat to themselves next time.
“Divide 45 by 5, then add 20” is a sentence a student can carry. “29” is not.
Esta pregunta pide un procedimiento, que es justo lo que aporta un paraprofesional. El estudiante ya sabe dividir y sumar; lo que necesita es la secuencia, dicha en palabras que pueda repetirse la próxima vez.
“Divide 45 entre 5 y luego suma 20” es una frase que el estudiante se lleva. “29” no lo es.
8 questions · 10 minutes
8 preguntas · 10 minutos
The clock starts when you press the button. / El reloj empieza al presionar el botón.
Procedure strategy · Estrategia de procedimiento
1. Scan the whole line before starting · Revisa toda la línea antes de empezar
Read the entire expression first and find the highest-ranking operation in it. Parentheses beat everything; multiplication and division beat addition and subtraction. Only then pick up your pencil.
Starting at the left and working across is the single most common error, and it feels natural because that is how reading works. Mathematics is not read that way.
Lee toda la expresión primero y busca la operación de mayor jerarquía. Los paréntesis le ganan a todo; multiplicación y división le ganan a suma y resta. Solo entonces toma el lápiz.
Empezar por la izquierda y seguir de corrido es el error más común, y se siente natural porque así se lee. Las matemáticas no se leen así.
2. Multiplication and division are tied · Multiplicación y división empatan
PEMDAS makes it look like multiplication comes before division. It does not. They share one tier, and ties are broken left to right — the same for addition and subtraction.
24 ÷ 6 × 2 = 8, because the division is further left. A student who multiplies first gets 2, and will be confident about it, because the mnemonic they memorized told them to.
PEMDAS hace parecer que la multiplicación va antes que la división. No es así. Comparten un nivel, y los empates se resuelven de izquierda a derecha — igual con suma y resta.
24 ÷ 6 × 2 = 8, porque la división está más a la izquierda. Un estudiante que multiplique primero obtiene 2, y estará seguro de ello, porque el truco que memorizó se lo dijo.
3. Rewrite the whole line each step · Reescribe toda la línea en cada paso
45 ÷ 5 + 20 becomes 9 + 20 becomes 29. Three lines, one operation each. Nothing gets dropped and nothing gets done twice.
Students who try to do two steps at once in their heads are the ones who lose a term. The rewriting looks slow and is actually faster, because it never has to be redone.
45 ÷ 5 + 20 se vuelve 9 + 20 y luego 29. Tres líneas, una operación cada una. Nada se pierde y nada se hace dos veces.
Los estudiantes que intentan dos pasos a la vez mentalmente son los que pierden un término. Reescribir parece lento y en realidad es más rápido, porque nunca hay que rehacerlo.
4. Watch for invented parentheses · Cuidado con los paréntesis inventados
“Add 45 and 5, then divide by 20” describes (45 + 5) ÷ 20 — an expression with parentheses that the problem never had. Three of the four choices do this.
When a procedure is written in words, translate it back into symbols and check that it matches the original line exactly. If you had to add parentheses to make it work, it is not the same problem.
“Suma 45 y 5, luego divide entre 20” describe (45 + 5) ÷ 20 — una expresión con paréntesis que el problema nunca tuvo. Tres de las cuatro opciones hacen esto.
Cuando un procedimiento viene en palabras, tradúcelo de vuelta a símbolos y revisa que coincida exactamente con la línea original. Si tuviste que agregar paréntesis para que funcionara, no es el mismo problema.
5. How to explain this to a student · Cómo explicárselo a un estudiante
Show the disagreement first. Have the student solve 45 ÷ 5 + 20 their way while you solve it the other way, then compare answers. Two different results from one expression makes the need for a rule obvious — and a student who feels the need for a rule will actually learn it.
Then give the procedure in words they can repeat: “divide first, then add.” Have them say it back before working. When a student answers 13, don't mark it wrong — ask them to circle which operation they did first, and compare that with the ranking.
Muestra primero el desacuerdo. Pide al estudiante que resuelva 45 ÷ 5 + 20 a su manera mientras tú lo haces del otro modo, y comparen respuestas. Dos resultados distintos de una misma expresión hacen obvia la necesidad de una regla — y un estudiante que siente esa necesidad sí la aprende.
Luego dale el procedimiento en palabras que pueda repetir: “divide primero, luego suma.” Que lo diga en voz alta antes de trabajar. Cuando responda 13, no lo marques mal — pídele que encierre qué operación hizo primero y compárenlo con la jerarquía.
6. Pace yourself on a timed test · Administra el tiempo
These are twenty-second questions once the ranking is automatic. Most of the time is spent reading the answer choices, since they are written in words rather than symbols.
Eight questions in ten minutes is 75 seconds each. Translate each worded procedure into symbols as you read it — that turns four sentences into four short expressions you can compare at a glance.
Son preguntas de veinte segundos cuando la jerarquía ya es automática. La mayor parte del tiempo se va en leer las opciones, porque están escritas en palabras y no en símbolos.
Ocho preguntas en diez minutos son 75 segundos cada una. Traduce cada procedimiento a símbolos mientras lo lees — eso convierte cuatro frases en cuatro expresiones cortas que comparas de un vistazo.
Palabras clave · Key words
| English | Español | Qué es |
|---|---|---|
| order of operations | orden de las operaciones | La jerarquía completa |
| expression | expresión | 45 ÷ 5 + 20 |
| operation | operación | Sumar, restar, multiplicar, dividir |
| parentheses | paréntesis | ( ) — se resuelven primero |
| exponent | exponente | Segundo nivel |
| procedure | procedimiento | Los pasos, en orden |
| evaluate | evaluar | Calcular el valor |
| left to right | de izquierda a derecha | Solo para desempatar |
| quotient | cociente | El resultado de dividir |
| sum | suma | El resultado de sumar |
Antes de evaluar nada, subraya la operación que va primero y di en voz alta por qué. En este problema: “la división, porque tiene más jerarquía que la suma.” Esa frase es toda la destreza.